题目内容

设a是正整数，二次函数y=x²+（a+17）x+38-a，反比例函数 $数学公式$ ，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值．

解：联立方程组 $\text{[math]}$ 消去y得，x²+（a+17）x+38-a= $\text{[math]}$ ，
即x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
当x=1时，x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
∴式子x³+（a+17）x²+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x²+（a+18）x+56]=0，（1）
显然x₁=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x²+（a+18）x+56=0，（2）
其判别式△=（a+18）²-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）²-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）²-224=k²（其中k为非负整数），则（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
而a是正整数，所以只可能 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
故答案为：a=39或a=12．
分析：先联立两方程，得到关于x的一元二次方程，把此方程分解为两个因式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．
点评：本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的奇偶性，涉及面较广，难度较大．