题目内容
设a是正整数，二次函数y=x2+（a+17）x+38-a，反比例函数y=| 56 | x |
分析：先联立两方程，得到关于x的一元二次方程，把此方程分解为两个因式积的形式，再根据一元二次方程根的判别式即可求解．
解答：解：联立方程组
消去y得，x2+（a+17）x+38-a=
，
即x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，
当x=1时，x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，
∴式子x3+（a+17）x2+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x2+（a+18）x+56]=0，（1）
显然x1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56=0，（2）
其判别式△=（a+18）2-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2-k2=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以
或
或
解得
或
或
而a是正整数，所以只可能
或
．
故答案为：a=39或a=12．
|
| 56 |
| x |
即x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，
当x=1时，x3+（a+17）x2+（38-a）x-56=0，
∴式子x3+（a+17）x2+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x2+（a+18）x+56]=0，（1）
显然x1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56=0，（2）
其判别式△=（a+18）2-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2-224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2-k2=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以
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而a是正整数，所以只可能
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故答案为：a=39或a=12．
点评：本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的奇偶性，涉及面较广，难度较大．
练习册系列答案
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，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的值．