Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，CF平分∠ACB交BE于点G，连接DF交AC于点H，且DF⊥CF．下列结论：①BF=BG；②△AFH∽△BCG；③CF=DF；④2HA²=HD•HF．其中正确结论的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：根据直角梯形的性质及已知条件易得出∠EGF=∠AHF，∠CBG=∠FAH，从而得出△AFH∽△BCG，故②成立，由△AFH∽△BCG及直角三角形和对顶角特点得出BF=BG，故①成立，同理可证明△ADF≌△BFC，得出DF=CF，故③成立，④无法证明，故不成立．
解答：解：在直角梯形ABCD中，
∠BGC=∠EGF，∠EDF+∠EHF=180°，∠AHF+∠EHF=180°，
∴∠EGF=∠AHF，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DAH，
∵∠DAH+∠FAH=90°，∠BCE+∠CBG=90°，
∴∠CBG=∠FAH，
∴△AFH∽△BCG，
故②成立，
∵△AFH∽△BCG，
∴∠2=∠AFD，
∵∠AFD+∠3=90°，∠4=∠CGE，∠CGE+∠1=90°，
∴∠3=∠CGE=∠4，
∴BF=BG，
故①成立，
∵△AFH∽△BCG，
∴可推理的出△ADF≌△BFC，
∴DF=CF，
故③成立，
④无法证明，故不成立，
故选C．
点评：本题主要考查了直角梯形、相似三角形、全等三角形、角平分线的性质，难度较大．