Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D．
（1）若△ABC与△DAP相似，则∠APD是多少度？
（2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长．

Answer 1

（1）当△ABC与△DAP相似时，
∠APD的度数是60°或30°．

（2）设PC=x，
∵PD∥BA，∠BAC=90°，
∴∠PDC=90°，
又∵∠C=60°，
∴AC=24•cos60°=12，
CD=x•cos60°=

1

2

x，
∴AD=12-

1

2

x，而PD=x•sin60°=

3

2

x，
∴S_△APD=

1

2

PD•AD=

1

2

•

3

2

x•（12-

1

2

x）=-

3

8

（x²-24x）
=-

3

8

（x-12）²+18

3

．
∵a=-

3

8

＜0，
∴抛物线的开口方向向下，有最大值，
即当x=12时，最大值是18

3

，
∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18

3

．

（3）连接O₁O₂，设以BP和AC为直径的圆心分别为O₁、O₂，过O₂作O₂E⊥BC于点E，
设⊙O₁的半径为x，则BP=2x，显然，AC=12，
∴O₂C=6，
∴CE=6•cos60°=3，
∴O₂E=

62-32

=3

3

，O₁E=24-3-x=21-x，
又∵⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=x+6，
在Rt△O₁O₂E中，有O₁O₂²=O₂E²+O₁E²，
∴（x+6）²=（21-x）²+（3

3

）²，
解得：x=8，
∴BP=2x=16．