题目内容
【题目】如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．
（1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）；
（2）探究2：观察猜想：
①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形；
②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形．
（3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．
【答案】（1）平行四边形；（2）①AC=BD；②AC⊥BD；（3） 当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由见解析．
【解析】
（1）由中位线定理得出GH∥AC，GH=
AC，同理EF∥AC，EF=AC，得出GH∥EF，GH=EF，从而可得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）①由（1）知四边形EFGH是平行四边形，由AC=BD，推出一组邻边相等即可得出四边形EFGH为菱形；
②由（1）知四边形EFGH是平行四边形，由AC⊥BD，证出∠EHG=90°，得出四边形EFGH为矩形；
（3）由AC=BD得出四边形EFGH为菱形；由AC⊥BD得出四边形EFGH为矩形，即可得出四边形EFGH为正方形．
解：（1）∵H、G，分别为AD、DC的中点，
∴HG∥AC，HG=AC，
同理EF∥AC，EF=AC，
∴HG∥EF且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案为：平行四边形；
（2）①AC=BD，理由如下：
由（1）知四边形EFGH为平行四边形，
又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG=AC，
同理可知HE=BD，
又∵AC=BD，∴HE=HG．
∴平行四边形EFGH为菱形，
故答案为：AC=BD；
②AC⊥BD，理由如下：
由（1）知四边形EFGH是平行四边形，
又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG∥AC，同理可知HE∥BD，
∵AC⊥BD，∴HG⊥HE，∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH为矩形，
故答案为：AC⊥BD；
（3）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由如下：
当AC=BD时，由（2）①得：四边形EFGH为菱形；
当AC⊥BD时，由（2）②得：四边形EFGH为矩形，
∴四边形EFGH为正方形．
