题目内容
【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,BD⊥AD.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)作AG⊥CB于G,若AD=1,AG=2,求sinC的值;
(3)若(2)中的四边形AGCD为一不可卷折的板材,问该板材能否通过一直径为1.8的圆洞门?请计算说明.
【答案】(1)详见解析;(2)$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$;(3)该板材可以通过直径是1.8的圆洞口
【解析】
(1)根据平行线的判定定理,证明对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形是菱形,即可判断;
(2)首先可以证得:四边形AGBD是矩形,然后根据勾股定理即可求解;
(3)利用三角函数求得GH的长度,然后与1.8比较大小,即可判断.
(1)证明:在平行四边形ABCD中,DC=AB,DC∥AB,
∴E,F分别是AB,CD的中点,
∴DF=BE,DF∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形,
又∵BD⊥AD,
所以DE=AB=BE,
∴四边形BEDF是菱形;
(2)由题意:DB⊥BC,
∴DB∥AC,又AD∥CG,
∴四边形AGBD是矩形,
∴DB=AG=2.
在平行四边形ABCD中,BC=AD=1,
∴CD=,
∴sinC=;
(3)由(2)知,BG=AD=BC=1,
∴GC=2,
∴AG=GC=2>1.8,
作GH⊥CD于H,
在直角△GCH中,GH=GCsinC=2×≈1.79<1.8,
∴四边形能夹在平行于CD,且两者之间距离不足1.8的平行线之间.
∴该板材可以通过直径是1.8的圆洞口.

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