Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞﹣3，写出x的取值范围； 
（3）A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．

Answer 1

解：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，﹣4）在抛物线上，
∴，解得。
∴二次函数的解析式为：y=x²﹣6x+5。
（2）在y=x²﹣6x+5中，令y=﹣3，即x²﹣6x+5=﹣3，
整理得：x²﹣6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4。
结合函数图象，可知当y＞﹣3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4。
（3）设直线y=﹣2x﹣6与x轴，y轴分别交于点M，点N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣2，
∴M（﹣3，0），N（0，﹣6）。
∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=，
∴。
设点C坐标为（x，y），则y=x²﹣6x+5。。
过点C作CD⊥y轴于点D，
则CD=x，OD=﹣y，DN=6+y。
过点C作直线y=﹣2x﹣6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠MNO=x，。
∴FN=DN﹣DF=6+y﹣x。
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠MNO=（6+y﹣x），
∴CE=CF+EF=x+（6+y﹣x）。
∵C（x，y）在抛物线上，
∴y=x²﹣6x+5，代入上式整理得：CE=（x²﹣4x+11）=（x﹣2）²+。
∴当x=2时，CE有最小值，最小值为。
当x=2时，y=x²﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）。
∴△ABC的最小面积为： AB•CE=×2×=。
∴当C点坐标为（2，﹣3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为。

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y＞﹣3时x的取值范围。
（3）△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=﹣2x﹣6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解。