Question

如图，已知二次函数y=

1

2

x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点M，与y轴的交点为A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B．
（1）求点A、B的坐标（用含b、c的式子表示）；
（2）当S_△BMN=4S_△AMN时，求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P为x轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P，使得以P、A、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接直线AB与抛物线的解析式即可得出A、B的坐标．
（2）根据等高三角形的面积比等于底边比，可知：B点的纵坐标是A点纵坐标的4倍．已知抛物线与x轴只有一个交点，即△=0，可得出另外一个关于b，c的关系式，联立两个关系式即可求得b，c的值．也就能求出二次函数的解析式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①PM=AM，那么将M点的坐标向左或向右平移AM个单位即可得出P点的坐标．
②PA=AM，P点在AM的垂直平分线上，易知：M（2，0），A（0，2）因此三角形OMA是等腰直角三角形，O在AM的垂直平分线上，因此P，O重合，P点坐标即为原点坐标．
③PA=AM，P，M关于y轴对称，据此可求出P点的坐标．
综上所述可得出符合条件的P点的坐标．

解答：解：（1）

y= 1 2 x2+bx+c(1) y=x+c(2)

x₁=0，x₂=2-2b
当x₁=0时，y₁=c即A（0，c）
当x₂=2-2b时，y₂=2-2b+c
即B（2-2b，2-2b+c）；

（2）2-2b-3c=0，△=0
得b²-2c=0，
联立③，④得
（6+2）（36-2）=0
∴b₁=-2，b₂=

2

3

-

b

2a

＞0，而a=

1

2

＞0．
∴b＜0．
∴b=-2
当b=-2时，代入④得c=2
∴所求二次函数的解析式为：y=

1

2

x²-2x+2；

（3）存在符合条件的点P
P_l（2+2

2

，0），P₂（0，0），P₃（2-2

2

，0），P₄（-2，0）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的交点、等腰三角形的判定等知识点．
在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要分类讨论，不要漏解．