题目内容

【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,E,D,G分别在AB,BC,AC边上,且AE=BD=CG.连接AD,BG,CE,相交于F,M,N.

(1)求证:AD=CE;

(2)求∠DFC的度数;

(3)试判断△FMN的形状,并说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)60°;(3)等边三角形,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)求证ABDCAE即可证明AD=CE;(2)由三角形外角的性质可以得到∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60°;(3)与(2)同样的道理可证∠FMN=∠FNM=∠DFC=60°,即可证得△FMN是等边三角形。

解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC.

又∵AE=BD,

∴△AEC≌△BDA(SAS).

∴AD=CE.

(2)(1)知△AEC≌△BDA,

∴∠ACE=∠BAD.

∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60°.

(3)△FMN为等边三角形,由(2)知∠DFC=60°,

同理可求得∠AMG=60°,∠BNF=60°.

∴△FMN是等边三角形.

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