Question

求方程6x+22y=90的非负整数解．

Answer 1

分析：首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可．

解答：解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：
3x+11y=45．①
由观察知，x₁=4，y₁=-1是方程3x+11y=1②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

x0=45× 4=180 y0=45×(-1)=-45

由定理，可得方程①的一切整数解为

x=180-11t y=-45+3t

（t为整数），
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
180-11t≥0  ③，
-45+3t≥0  ④，
由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．
当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．
所以原方程的非负整数解是

x=15 y=0

，

x=4 y=3

．

点评：本题考查了二元一次方程的解法和求方程的非负整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．