题目内容
(2004•广安)已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(x1-2)(x2-2)=7-3k,求k的值.
分析:由关于x的方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范围,再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积,将已知的等式变形后,把表示出的两根之和与两根之积代入得到关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.
解答:解:∵x
2-(2k+1)x+k
2-1=0有两个不相等的实数根x
1、x
2,
∴x
1+x
2=2k+1,x
1x
2=k
2-1,且△=(2k+1)
2-4(k
2-1)=4k+5>0,即k>-
,
∵(x
1-2)(x
2-2)=x
1x
2-2(x
1+x
2)+4=k
2-1-2(2k+1)+4=7-3k,
整理得:k
2-k-10=0,
解得:k=
,
∴k=
或k=
(舍去),
则k的值为
.
点评:此题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程ax
2+bx+c=0,当b
2-4ac≥0时,方程有解,分别设为x
1,x
2,则有x
1+x
2=-
,x
1x
2=
.
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