Question

如图①，已知抛物线y＝ax²＋bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A（3，0）、B（4，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式是y＝x2-3x； （2）设直线OB的解析式为y＝k1x， 由点B（4，4），得：4＝4k1，解得k1＝1， ∴直线OB的解析式为y＝x， ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x-m， ∵点D在抛物线y＝x2-3x上， ∴可设D（x，x2-3x）， 又点D在直线y＝x-m上， ∴x2-3x ＝x-m，即x2-4x＋m＝0， ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴△＝16-4m＝0， 解得：m＝4， 此时x1＝x2＝2，y＝x2-3x＝-2， ∴ D点坐标为（2，-2）；       （3）∵直线OB的解析式为y＝x，且A（3，0）， ∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是（0，3）．设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B（4，4）， ∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝， ∴直线A'B的解析式是y＝x＋3， ∵∠NBO＝∠ABO， ∴点N在直线A'B上， ∴设点N（n，n＋3）， 又点N在抛物线y＝x2-3x上， ∴n＋3＝n2-3n， 解得：n1＝-，n2＝4（不合题意，会去）， ∴ 点N的坐标为， 如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则，B1（4，-4）， ∴O、D、B1都在直线y＝-x上， ∵△P1OD∽△NOB， ∴△P1OD∽△N1OB1， ∴， ∴点P1的坐标为， 将△OP1D沿直线y＝-x翻折，可得另一个满足条件的点， 综上所述，点P的坐标是或。