Question

如图，△ABC的高CF、BG相交于点H，分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于D、E两点，则下列结论：①AD=AE；②AH=AE；③若DE为△ABC的外接圆的直径，则BC=AE．其中正确的是（　　）

A．只有①

B．只有①②

C．只有②③

D．①②③都是

Answer 1

分析：①△ABC的高CF、BG相交于点H，根据同角的余角相等，即可求得∠ABG=∠ACF，即可得AD=AE；
②首先延长AH交BC于M点，由H是垂心，根据同角的余角相等，即可得∠ACB=∠AHE，则可证得∠AHE=∠AEB，根据等角对等边的性质，即可得AH=AE；
③由①②，易得△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，又由DE为△ABC的外接圆的直径，易求得∠ADE=∠BAC=45°，则可得BC=AE．

解答：解：①∵CF、BG是△ABC的高，
∴∠AGB=∠AFC=90°，
∴∠BAC+∠ABG=90°，∠BAC+∠ACF=90°，
∴∠ABG=∠ACF，
∴

AD

=

AE

，
∴AD=AE；
故①正确；
②延长AH交BC于M点，
∵H是垂心，
∴AM⊥BC，
∴在△AMC和△AGH中，∠AHG+∠MAC=90°，∠ACM+∠MAC=90°，
∴∠ACB=∠AHE，
∵∠ACB=∠AEB，
∴∠AHE=∠AEB，
∴AE=AH；
故②正确；
③由①②可知AD=AE=AH，
∴△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，
∴∠DAF=∠HAF，∠EAG=∠HAG，
∴∠BAC=

1

2

∠DAE，
∵当DE为直径时，∠DAE=90°，
∴∠BAC=45°，
∵在Rt△ADE，AD=AE，
∴∠ADE=45°，
∴AE=BC．
故③正确．
故选D．

点评：此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．