Question

如图，△ABC的高AD=4，BC=8，四边形MNPQ是△ABC中任意一个内接矩形
（1）设MN=x，MQ=y，求y关于x的函数解析式；
（2）设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出当MN为多大时，矩形MNPQ面积y有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）由四边形MNPQ是△ABC中任意一个内接矩形，易证得△AMN∽△ABC，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得y关于x的函数解析式；
（2）由（1），可求得MQ的值，然后由矩形的面积公式，即可求得y关于x的函数关系式，然后由二次函数的最值问题，求得当MN为多大时，矩形MNPQ面积y有最大值，最大值为多少．

解答：解：（1）∵四边形MNPQ是△ABC中一个内接矩形，
∴MN∥BC，MQ⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴四边形MQDE是矩形，
∴MQ=DE，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AE

AD

=

MN

BC

，
∵△ABC的高AD=4，BC=8，MN=x，MQ=y，
∴

4-y

4

=

x

8

，
解得：y=4-

1

2

x；

（2）∵由（1），可得MN=x，
∴MQ=4-

1

2

x，
∴y=S_矩形MNPQ=MN•MQ=x（4-

1

2

x）=-

1

2

（x-4）²+8，
∵-

1

2

＜0，
∴当MN为4时，矩形MNPQ面积y有最大值，最大值为8．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及二次函数的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．