Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+2mx+m+2的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，在x轴上方且平行于x轴的直线EF与抛物线交于E，F两点，E在F的左侧，过E，F分别作x轴的垂线，垂足是M，N．

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；

（2）设BN＝t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；

（3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M'，试判断点M'是否在抛物线上？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）C＝﹣2t2+4t+8；（3）点M'不在抛物线上．

【解析】

（1）因为抛物线上的点的坐标符合解析式，将A的坐标代入解析式即可求得m的值，进而求出解析式，即可求得顶点坐标；

（2）求出A、B两点坐标，可表示出MN的长，求出F点纵坐标，可知NF的长，利用矩形面积公式即可求出C与t的函数表达式；

（3）根据翻折变换的性质（翻折前后图形全等），结合勾股定理，求出M’点坐标，代入二次函数解析式验证．

（1）由于抛物线过点A（﹣1，0），

于是将A代入y＝﹣x2+2mx+m+2

得﹣1﹣2m+m+2＝0，

解得m＝1，

函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，

解析式可化为y＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）．

（2）因为函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，

所以当y＝0时可得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

则AB＝3﹣（﹣1）＝4．

又因为BN＝t，M、N关于对称轴对称，

所以AM＝t．于是MN＝4﹣2t，

N点横坐标为3﹣t，代入抛物线得：yF＝﹣t2+4t．

于是C＝2（4﹣2t）﹣2（t﹣2）2+8，

整理得C＝﹣2t2+4t+8；

（3）当﹣2t2+4t+8＝10时，解得t＝1，MN＝4﹣2t＝4﹣2＝2；

FN＝﹣12+4＝3，

因为t＝1，所以M与O点重合，

连接MM'、EN，且MM'和EN相交于K，根据翻折变换的性质，MK＝M'K．

根据同一个三角形面积相等，2×3＝MK

于是MK＝，MM'＝

作M'H⊥MN的延长线于H．

设NH＝a，HM′＝b，

于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，

，

解得a＝，b＝．

于是MH＝2+＝．

M'点坐标为（，），

代入函数解析式y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝≠，

∴点M'不在抛物线上．