题目内容

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求 $数学公式$ 的值．
（2）若E为x轴上的点，且S_△AOE= $数学公式$ ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）x²-7x+12=0，
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0，x-4=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在△AOB中，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，
∴sin∠ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）根据题意，设E（x，0），则
S_△AOE= $\text{[math]}$ ×OA×x= $\text{[math]}$ ×4x= $\text{[math]}$ ，
解得x= $\text{[math]}$ ，
∴E（ $\text{[math]}$ ，0）或（- $\text{[math]}$ ，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，
则① $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
解析式为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
在△AOE与△DAO中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠AOE=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△DAO；

（3）根据计算的数据，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，
所以点F与B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，
点F（3，8）．
③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=- $\text{[math]}$ x+4，直线L过（ $\text{[math]}$ ，2），且k值为 $\text{[math]}$ （平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1），
L解析式为y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，联立直线L与直线AB求交点，
∴F（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），

④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN= $\text{[math]}$ ，勾股定理得出，AN= $\text{[math]}$ ，做A关于N的对称点即为F，AF= $\text{[math]}$ ，过F做y轴垂线，垂足为G，FG= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴F（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
综上所述，满足条件的点有四个：F₁（-3，0）；F₂（3，8）；F₃（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；F₄（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．
点评：本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解．