Question

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）。BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

解：      （1）连接ME，设MN交BE交于P 根据题意得MB=ME，MN⊥BE 过N作NG⊥AB于F 在Rt△MBP和Rt△MNE中 ∠MBP+∠BMN=90°， ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF， 又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNE，MF=AE=x 在Rt△AME中，由勾股定理得 ME2=AE2+AM2， 所以MB2=x2+AM2 即（2-AM）2=x2+AM2，解得AM=1-x2 所以四边形ADNM的面积 S=×2   =AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2 即所求关系式为S=-x2+x+2． （2）S= -x2+x+2= -（x2-2x+1）+= -（x-1）2+ 当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是。