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精英家教网如图,点D、E、F分别是△ABC三边的中点,则下列判断错误的是(  )
A、四边形AEDF一定是平行四边形B、若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形C、若AD平分∠A,则四边形AEDF是正方形D、若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形
分析:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
解答:解:A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点,∴DE、DF为△ABC得中位线,
∴ED∥AC,且ED=
1
2
AC=AF;同理DF∥AB,且DF=
1
2
AB=AE,
∴四边形AEDF一定是平行四边形,正确.
B、若∠A=90°,则四边形AEDF是矩形,正确;
C、若AD平分∠A,延长AD到M,使DM=AD,连接CM,由于BD=CD,DM=AD,
∠ADB=∠CDB,(SAS)∴△ABD≌△MCD∴CM=AB,又∵∠DAB=∠CAD,
∠DAB=∠CMD,∴∠CMD=∠CAD,∴CA=CM=AB,因AD平分∠A
∴AD⊥BC,则△ABD≌△ACD;AB=AC,AE=AF,
结合(1)四边形AEDF是菱形,因为∠A不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形;
D、若AD⊥BC,则△ABD≌△ACD;AB=AC,AE=AF,结合(1)四边形AEDF是菱形,正确.
故选C.
点评:本题考查三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理.
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