题目内容
【题目】（问题背景）
在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，AD=nAB，现将一块含60°的直角三角板（如图）放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，其60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．
（发现）
如图1，当n=1时，易证得AE+AF=AC；
（类比）
如图2，过点C作CH⊥AD于点H，
（1）当n=2时，求证：AE=2FH；
（2）当n=3时，试探究AE+3AF与AC之间的等量关系式；
（延伸）
将60°角的顶点移动到平行四边形ABCD对角线AC上的任意点Q，其余条件均不变，试探究：AE、AF、AQ之间的等量关系式（请直接写出结论）．
【答案】【发现】：见解析；【类比】：（1）见解析；（2）
；【延伸】
.
【解析】
发现：先证明
是等边三角形，再证明
≌
（ASA），可得
，根据线段的和可得结论；
类比：（1）如图2，设
由题意得：
根据勾股定理的逆定理得：
则
证明
∽
，列比例式
根据
，可得
（2）如图3，作辅助线，构建直角三角形，先证明
∽
，得根据面积法
得
所以
设
则
分别求
的长，代入计算
的值即可；
延伸:如图4，作辅助线，构建新的
则
同理根据面积法得：
设
则
分别求
及AQ和
的长，相比可得结论．
如图1，
当n=1时，AD=AB，
∴ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，
∴∠D=∠B=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
∵
，
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴BE=AF，
∴
【类比】
：（1）如图2，
当n=2时，
设
，由题意得：
∴
∴
∵
由勾股定理得：
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
（2）如图3，当n=3时，
过C作CN⊥AD于N，过C作CM⊥AB于M，交AD于H，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
设 则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【延伸】
如图4，
过Q作QG∥AD，作QH∥AB，则四边形AGQH是平行四边形，且AH=nAG，
过C作CN⊥AD于N，过C作CM⊥AB于M，交AD于P，
同理可得：
∴
∵
∴
∴
∵
设 则
∵
∴
∴
∴
∴
∴
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