题目内容
【题目】如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于点G，交CD于点H，下列结论：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤
，其中正确的有__________.
【答案】①③⑤
【解析】
①：由正方形ABCD的性质以及等腰△EAD的性质证明△ABM≌△DCN即可；②③：连接AC，以D为圆心，DA的长度为半径画圆，不难证明圆D过点A、E、F，由圆周角定理求出∠AFE的度数，进而求出∠FAE的度数及∠AEF的度数，从而证明出△AEF为等腰直角三角形，由折叠可得出∠AED的度数，由等腰△AED的性质求出∠DAE的度数即可求出∠DAF的度数；④：作CK⊥AF交AF于点K，不难求出∠KAC=∠CAE=22.5°，由角平分线的性质可得CK=CE，由直角三角形的性质可得CF＞KC，所以CF＞CE；⑤：求出∠FDC=∠ACD=45°，证明出DF∥AC，从而得出S△DAF=S△DCF，进而得出S△DAH=S△CFH.
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=∠B=∠DCN=90°，
∵等腰△ADE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAM=∠CDN，
∵在Rt△ABM与Rt△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN，
故结论①正确；
连接AC，以D为圆心，DA的长度为半径画圆，
由翻折可得AD=DF，AE=EF，
∴圆D经过点A、C、F，
∴∠AFC=45°，
∴∠AFC=∠EAF=45°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED=∠DEF=45°，
∴∠EAD=67.5°，
∴∠DAF=22.5°，
故结论②错误；
∵AE=EF，∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故结论③正确；
作CK⊥AF交AF于点K，
∵∠EAD=62.5°，∠FAD=22.5°，
∴∠BAM=∠CDN=22.5°，∠KAC=22.5°，
∴∠EAC=22.5°，
∴∠EAC=∠KAC，
∴KC=CE，
∵在Rt△FKC中，FC＞KC，
∴FC＞CE，
故结论④错误；
∵∠DAF=∠DFA=22.5°，
∴∠ADF=135°，
∴∠FDC=45°，
∴∠FDC=∠DCA，
∴AC∥DF，
∴S△DAF=S△DCF，
∴S△DAH=S△CFH，
故结论⑤正确.
正确的结论有①③⑤.
故答案为①③⑤.
