Question

如图所示，矩形ABCD的边AB=3，AD=2，将此矩形置入直角坐标系中，使AB在x轴上，点C在直线y=x-2上．
（1）求矩形各顶点坐标；
（2）若直线y=x-2与y轴交于点E，抛物线过E、A、B三点，求抛物线的关系式；
（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AD=2，即C点的纵坐标为2，将其代入已知的直线解析式中，即可求得C点的横坐标，进而由AB的长，求得A、D的横坐标，由此可确定矩形的四顶点的坐标．
（2）根据直线y=x-2可求得E点的坐标，进而可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．
（3）根据（2）所得抛物线的解析式，即可由配方法或公式法求得其顶点坐标，进而根据矩形的四顶点坐标，来判断此顶点是否在矩形的内部．

解答：解：（1）如答图所示．
∵y=x-2，AD=BC=2，设C点坐标为（m，2），
把C（m，2）代入y=x-2，
即2=m-2，
∴m=4，
∴C（4，2），
∴OB=4，AB=3，
∴OA=4-3=1，
∴A（1，0），B（4，0），C（4，2），D（1，2）．

（2）∵y=x-2，
∴令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2）．
设经过E（0，-2），A（1，0），B（4，0）三点的抛物线关系式为y=ax²+bx+c，
∴

c=-2 a+b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2 c=-2

；
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2．

（3）抛物线顶点在矩形ABCD内部．
∵y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
∴顶点为(

5

2

，

9

8

)，
∵1＜

5

2

＜4，
∴顶点(

5

2

，

9

8

)在矩形ABCD内部．

点评：此题主要考查了函数图象上点的坐标意义、矩形的性质、二次函数解析式的确定等知识，难度不大，细心求解即可．