Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=

3

2

．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y=-x+n于点C．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若PM=

3

2

，求PC的长；
（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将A（-1，0）代入y=-x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

3

2

，把点A的坐标代入y=ax²+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；
（2）设M点横坐标为m，则P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C（m，-m-1），得出PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3．由PM=

3

2

，得到-

1

2

m²+

3

2

m+2=

3

2

，即m²=3m+1，m=

3± 13

2

，进而求出PC=

8± 13

2

；
（3）设M点横坐标为m，则PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，MN=2（

3

2

-m）=3-2m，矩形PMNQ的周长d=-m²-m+10，将-m²-m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．

解答：解：（1）∵直线y=-x+n过点A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
∵抛物线y=ax²+bx+2的对称轴为直线x=

3

2

，经过点A（-1，0），
∴

- b 2a = 3 2 a-b+c=0

，解得

a=- 1 2 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C点坐标为（m，-m-1）．
∵点M为线段AB上一点，
∴-1＜m＜4．
∴PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PM=

3

2

，
∴-

1

2

m²+

3

2

m+2=

3

2

，
整理，得m²-3m-1=0，
∴m²=3m+1，m=

3± 13

2

，
∴PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（3m+1）+

5

2

m+3=m+

5

2

，
∴当m=

3± 13

2

时，PC=

8± 13

2

；

（3）设M点横坐标为m，则PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，MN=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形PMNQ的周长d=2（PM+MN）=2（-

1

2

m²+

3

2

m+2+3-2m）=-m²-m+10．
∵-m²-m+10=-（m+

1

2

）²+

41

4

，
∴当m=-

1

2

时，d有最大值=

41

4

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．