题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于A、B 两点,交 y 轴于 C 点,P 为 y 轴上的一个动点,已知 A(﹣2,0)、C(0,﹣2 ),且抛物线的对称轴是直线 x=1.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)连接 PB,则 PC+PB 的最小值是 ;
(3)连接 PA、PB,P 点运动到何处时,使得∠APB=60°,请求出 P 点坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2 ;(2)3;(3)P(0,+ ),(0,﹣﹣).
【解析】
(1)根据待定系数法,可得答案;(2)连接 AC,作 BH⊥AC 于 H,交 OC 于 P,此时PC+PB 最小.最小值就是线段 BH,求出 BH 即可.(3)根据勾股定理,可得 PA,PB,根据锐角三角函数,可得 BC 的长,根据三角形的面积,可得关于 n 的方程,根据解方程,可得答案.
(1)将 A,C 点坐标代入函数解析式,及对称轴,得
解得
抛物线的解析式为 y=x2﹣x﹣2 ,
(2)连接 AC,作 BH⊥AC 于 H,交 OC 于 P,如图 1,此时PC+PB 最小.
理由:当 y=0 时,x2﹣x﹣2=0,解得 x=﹣2(舍)x=4,即 B(4,0), AB=4﹣(﹣2)=6.
∵OA=2,OC=2 ,
∴tan∠ACO= ,
∴∠ACO=30°,
∴PH=PC,
∴PC+PB=PH+PB=BH,
∴此时PB+PD 最短(垂线段最短).
在 Rt△ABH 中,∵∠AHB=90°,AB=4﹣(﹣2)=6,∠HAB=60°,
∴sin60°==,
∴BH=6×=3,
∴PC+PB 的最小值为 3, 故答案为:3.
(3)如图 2,作 BC⊥PA 于 C,设 P(0,n),由勾股定理,得 PB= ,PA= ,
由 sin∠APB=sin60°,得∠CPB= ,
∴BC=,
由 S△PAB=AB|n|= APBC,得
6|n|= ,
化简,得 n4﹣28n2+64=0,
解得 n=14+2,n=14﹣2 (不符合题意,舍)
= =+,=﹣=﹣﹣
∴P(0,+),(0,﹣﹣).