题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax2+bx+c 的图象交 x 轴于AB 两点,交 y 轴于 C 点,P y 轴上的一个动点,已知 A(﹣2,0)、C(0,﹣2,且抛物线的对称轴是直线 x=1.

(1)求此二次函数的解析式;

(2)连接 PB,则 PC+PB 的最小值是

(3)连接 PAPBP 点运动到何处时,使得APB=60°,请求出 P 点坐标.

【答案】(1)yx2x﹣2 ;(2)3;(3)P(0,+ ),(0,﹣).

【解析】

(1)根据待定系数法,可得答案;(2)连接 AC,作 BHAC H,交 OC P,此时PC+PB 最小.最小值就是线段 BH,求出 BH 即可.(3)根据勾股定理,可得 PAPB,根据锐角三角函数,可得 BC 的长,根据三角形的面积,可得关于 n 的方程,根据解方程,可得答案.

(1)将 AC 点坐标代入函数解析式,及对称轴,得

解得

抛物线的解析式为 yx2x﹣2

(2)连接 AC,作 BHAC H,交 OC P,如图 1,此时PC+PB 最小.

理由:当 y=0 时,x2x﹣2=0,解得 x=﹣2(舍)x=4,即 B(4,0), AB=4﹣(﹣2)=6.

OA=2,OC=2

∴tan∠ACO

∴∠ACO=30°,

PHPC

PC+PBPH+PBBH

∴此时PB+PD 最短(垂线段最短).

在 Rt△ABH 中,∵∠AHB=90°,AB=4﹣(﹣2)=6,∠HAB=60°,

∴sin60°=

BH=6×=3

PC+PB 的最小值为 3, 故答案为:3

(3)如图 2,作 BCPA C,设 P(0,n),由勾股定理,得 PBPA

由 sin∠APB=sin60°,得∠CPB

BC

SPABAB|n|= APBC,得

6|n|= ,

化简,得 n4﹣28n2+64=0,

解得 n=14+2n=14﹣2 (不符合题意,舍)

+=﹣=﹣

P(0,+),(0,﹣).

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