Question

如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若OA=10，BC=16，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）首先由AB是半圆O的直径可以得到∠ACB=90°，由OD∥AC利用平行线的性质可以得到∠EDB=90°，而∠OEB=∠ABC，由此可以证明∠ABC+∠DBE=90°，最后利用切线的判定即可证明题目的结论；
（2）首先利用勾股定理可以求出线段BC的长度，同时可以利用已知条件证明△ACB∽△OBE，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．

解答：（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥AC，
∴∠EDB=90°，
∴∠OEB+∠DBE=90°，
而∠OEB=∠ABC，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∴∠ABE=90°，∵OB为半径，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知道△ABC是直角三角形，
∴AC=

AB2-BC2

=12，
∵∠OEB=∠ABC，∠OBE=∠C=90°，
∴△ACB∽△OBE，
∴OB：AC=BE：BC，
而OA=10，BC=16，
∴10：12=BE：16，
∴BE=

40

3

．

点评：此题主要考查了圆的切线的性质与判定，也利用相似三角形的性质与判定解决问题，解题时首先利用已知条件证明切线，然后利用相似三角形的性质解决问题．