题目内容
如图,在⊙O中,AB为直径,半径OE⊥AB,M为半圆上任意一点,过M作⊙O的切线交OE的延长线与P,过A作弦AC∥MP,连MB、BC,BM交OP于N点.
(1)求证:MP=PN;
(2)已知AC=4,PE=1,求sin∠ABC的值.
(1)求证:MP=PN;
(2)已知AC=4,PE=1,求sin∠ABC的值.
(1)证明:连接OM交AC于H,
∵PM切⊙O于M,
∴∠PMO=90°,
∵OE⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∴∠ONB+∠OBN=90°,∠PMN+∠OMN=90°,
∵OM=OB,
∴∠OMN=∠OBN,
∵∠PNM=∠BNO,
∴∠PMN=∠PNM,
∴MP=PN;
(2)设⊙O的半径为R,
∵AC∥PM,∠PMO=90°,
∴OM⊥AC,
∴由垂径定理得:AH=CH=
AC=2,
∴∠OHA=90°=∠PMO,
∵OH⊥AC,
∴∠AHO=∠EOA=90°,
∠A+∠AOH=90°,∠AOH+∠HOP=90°,
∴∠A=∠POM,
∵∠AHO=∠PMO,
∴△AHO∽△OMP,
∴
=
,
∴
=
,
R=1+
,R=1-
(半径不能为负数,舍去),
∴AB=2R=2+2
,
sin∠ABC=
=
=
-1.
∵PM切⊙O于M,
∴∠PMO=90°,
∵OE⊥AB,
∴∠EOB=90°,
∴∠ONB+∠OBN=90°,∠PMN+∠OMN=90°,
∵OM=OB,
∴∠OMN=∠OBN,
∵∠PNM=∠BNO,
∴∠PMN=∠PNM,
∴MP=PN;
(2)设⊙O的半径为R,
∵AC∥PM,∠PMO=90°,
∴OM⊥AC,
∴由垂径定理得:AH=CH=
1 |
2 |
∴∠OHA=90°=∠PMO,
∵OH⊥AC,
∴∠AHO=∠EOA=90°,
∠A+∠AOH=90°,∠AOH+∠HOP=90°,
∴∠A=∠POM,
∵∠AHO=∠PMO,
∴△AHO∽△OMP,
∴
AH |
AO |
OM |
OP |
∴
2 |
R |
R |
R+1 |
R=1+
3 |
3 |
∴AB=2R=2+2
3 |
sin∠ABC=
AC |
AB |
4 | ||
2+2
|
3 |
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