题目内容

【题目】已知直角ABC,∠BAC=90°D是斜边BC的中点,EF分别是ABAC边上的点,且DEDF连接EF

1)如图1,求证:∠BED=AFD

2)求证:BE2+CF2=EF2

3)如图2,当∠ABC=45°,若BE=12CF=5,求DEF的面积.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3

【解析】

1)利用四边形内角和得出∠AED+AFD=180°,再根据补角的性质即可得;

2)延长ED至点P,使ED=DP,构造全等三角形,利用全等三角形的性质得到直角三角形,由勾股定理及等量代换可得;

3)由(2)结论求EF长,再通过全等证明DE=DF,由面积公式求解.

解:(1)∵DEDF,

∴∠EDF=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠AED+AFD=180°,

∵∠AED+BED=180°,

∴∠BED=AFD

2)如图,

延长ED至点P,使ED=DP,连接CP,EP,

FDEP,

FDEP的垂直平分线,

EF=FP,

ED=DP, EDB=CDPBD=CD

∴△EDBPDC,

EB=CP, B=DCP,

∵∠BAC=90°,

∴∠B+ACB=90°,

∴∠DCP+ACB=90°,

即∠ACP=90°,

由勾股定理得,CP2+CF2=FP2

BE2+CF2=EF2

3)如图,∵BE2+CF2=EF2

52+122=EF2

EF=13

∵△ABC是等腰直角三角形,BD=CD,

ADBC, ∴∠ADC=90°, BAD=B=C=45°,

∵∠EDF=90°

∴∠ADE=CDF,

∴△ADECDF,

DE =DF= ,

SDEF= .

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