题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(0,4),将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,连接OD.当∠DOA=∠OBA时,直线CD的解析式为________
【答案】y=﹣ x+4
【解析】分析:由旋转的性质得到三角形BOA与三角形CDA全等,再由已知角相等,以及公共角,得到三角形AOM与三角形AOB相似,确定出OD与AB垂直,再由OA=DA,利用三线合一得到AB为角平分线,M为OD中点,利用SAS得到三角形AOB与三角形ABD全等,得出AD垂直于BC,进而确定出B,D,C三点共线,求出直线OD解析式,与直线AB解析式联立求出M坐标,确定出D坐标,设直线CD解析式为y=mx+n,把B与D坐标代入求出m与n的值,即可确定出解析式.
详解:
∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA,
∴△BOA≌△CDA,
∵∠DOA=∠OBA,∠OAM=∠BAO,
∴△AOM∽△ABO,
∴∠AMO=∠AOB=90°,
∴OD⊥AB,
∵AO=AD,
∴∠OAM=∠DAM,
在△AOB和△ABD中,
∴△AOB≌△ABD(SAS),
∴OM=DM,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴B,D,C三点共线,
设直线AB解析式为y=kx+b,
把A与B坐标代入得:
解得:
∴直线AB解析式为y=- +4,
∴直线OD解析式为y=
则
解得:
则点M(),
∵M为线段OD的中点,
∴D(),
设直线CD解析式为y=mx+n,
把B与D坐标代入得:
解得:m=-,n=4,
则直线CD解析式为y=﹣ x+4.
故答案是:y=﹣ x+4.
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