题目内容

【题目】如图,在RtABC中,∠BAC90°,ABAC.在平面内任取一点D,连结ADADAB),将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连结DECEBD

1)直线BDCE的位置关系是   

2)猜测BDCE的数量关系并证明;

3)设直线BDCE交于点P,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC90°,AB2AD1时,直接写出PB的长.

【答案】1BDCE;(2BDCE,证明见解析;(3

【解析】

1)依据等腰三角形的性质得到ABACADAE,依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE,然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC,最后,依据全等三角形的性质可得到结论;

2)根据全等三角形的性质即可得到结论;

3)分为点EAB上和点EBA的延长线上两种情况画出图形,然后再证明△BPE∽△BAD,最后依据相似三角形的性质进行证明即可.

解:(1BDCE

理由:延长CEBDP

∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE

ADAE,∠DAE90°,

∵∠BAC90°,ABAC

∵∠DAB+BAE=∠CAE+BAE90°,

∴∠DAB=∠EAC

∴△DAB≌△EACSAS),

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ABC+ACB=∠ABP+ABC+PCB90°,

∴∠BPC90°,

BDCE

故答案为:BDCE

2BDCE的数量是:BDCE

由(1)知△ABD≌△ACE

BDCE

3当点EAB上时,BEABAE1

∵∠EAC90°,

CE

同(1)可证△ADB≌△AEC

∵∠AEC=∠BEP

∴∠BPE=∠EAC90°,

∵∠PBE=∠ABD

∴△BPE∽△BAD

BP

当点EBA延长线上时,BE3

∵∠EAC90°,

CE

由△BPE∽△BAD

PB

综上所述,PB的长为

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