题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
的三个顶点
、
、
.抛物线的解析式为
.
（1）如图一，若抛物线经过
，
两点，直接写出点的坐标 ；抛物线的对称轴为直线 ；
（2）如图二：若抛物线经过、
两点，
①求抛物线的表达式.
②若点
为线段
上一动点，过点作
交
于点
，过点作
于点
交抛物线于点
.当线段
最长时，求点的坐标；
（3）若
，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出
的取值范围.
【答案】（1）（4,8）；x=6；（2）①
；②（6,4）；（3）
或
【解析】
（1）根据矩形的性质即可求出点A的坐标，然后根据抛物线的对称性，即可求出抛物线的对称轴；
（2）①将A、C两点的坐标代入解析式中，即可求出抛物线的表达式；
②先利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后设点E的坐标为
，根据坐标特征求出点G的坐标，即可求出EG的长，利用二次函数求最值即可；
（3）画出图象可知：当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D点上方时，抛物线与矩形
没有公共点，将x=4和x=8分别代入解析式中，列出不等式，即可求出b的取值范围．
解：（1）∵矩形的三个顶点
、
、
∴点A的横坐标与点B的横坐标相同，点A的纵坐标与点D的纵坐标相同
∴点A的坐标为：（4,8）
∵点A与点D的纵坐标相同，且A、D都在抛物线上
∴点A和点D关于抛物线的对称轴对称
∴抛物线的对称轴为：直线
．
故答案为：（4,8）；x=6；
（2）①将A、C两点的坐标代入
，得
解得：
故抛物线的表达式为；
②设直线AC的解析式为y=kx＋c
将A、C两点的坐标代入，得
解得：
∴直线AC的解析式为
设点E的坐标为，
∵EG⊥AD，AD∥x轴
∴点E和点G的横坐标相等
∵点G在抛物线上
∴点G的坐标为
∴EG=
=
=
∵
∴当
时，EG有最大值，且最大值为2，
将代入E点坐标，可得，点E坐标为（6,4）．
（3）当
时，抛物线的解析式为
如下图所示，当x=4时，若抛物线上的对应点位于点B的下方或当x=8时，抛物线上的对应点位于D点上方时，抛物线与矩形没有公共点，
故
或
解得：或．
