Question

阅读：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，如图，Rt△ABC中，D为AB中点，则CD=AD=BD=．（此定理在解决下面的问题中要用到）
应用：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

Answer 1

（1）①证明：∵BM⊥直线a，CN⊥直线a，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠PCE，
∵点P为BC边中点，
∴BP=PC，
在△BPM和△CPE中，
，
∴△BPM≌△CPE（ASA）；
②∵△BPM≌△CPE，
∴MP=PE，
∵∠MNE=90°，
∴PN=PM；

（2）PM=PN还成立．
理由如下：如图3，延长MP与NC延长线交于F，
∵BM⊥直线a，CN⊥直线a，
∴BM∥FN，
∴∠BMP=∠PFC，
∵点P为BC边中点，
∴BP=PC，
在△BMP和△CFP中，
，
∴△BMP≌△CFP（ASA），
∴PM=PF，
∵∠MNF=90°，
∴PM=PN；

（3）四边形MBCN是矩形，PM=PN还成立．
理由如下：如图4，∵a∥BC，BM⊥a，CN⊥a，
∴BM∥CN，BM=CN，
∴四边形MBCN是矩形，
∵点P是BC的中点，
∴BP=CP，
在△BMP和△CMN中，
，
∴△BMP≌△CPN（SAS），
∴PM=PN．
分析：（1）①根据垂直的定义以及平行线的判定可得BM∥CN，再根据两直线平行，内错角相等可得∠MBP=∠PCE，然后利用“角边角”证明即可；②根据全等三角形对应边相等可得MP=PE，在Rt△MNE中，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；
（2）延长MP与NC延长线交于F，然后与（1）同理可证；
（3）根据矩形的判定解答，再利用“边角边”证明△BMP和△CPN全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，矩形的判定，读懂题目信息并灵活运用，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．