题目内容

定理“直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”的其中一个逆定理是：三角形中，如果
一直角边是斜边的一半
一直角边是斜边的一半
，那么这条直角边所对的角等于30°．
分析：如果把定理中直角三角形和30°作为题设，把直角边是斜边的一半作为结论，则交换题设和结论即可得到它的一个逆定理．
解答：解：定理“直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”的一个逆定理为如果三角形中，一直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度．
故答案为一直角边是斜边的一半．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
练习册系列答案
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课题研究
（1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中，sin∠A=
 
，所以CD=
 
，而S△ABC=
1
2
AB•CD，于是可将三角形面积公式变形，得S△ABC=
 
．①其文字语言表述为：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．这就是我们将要在高中学习的正弦定理．
（2）如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，由公式①，得
1
2
AC•BC•sin(α+β)=
1
2
AC•CD•sinα+
1
2
BC•CD•sinβ，即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，将得到新的结论．并写出解决过程．
（3）利用（2）中的结论，试求sin75°和sin105°的值，并比较其大．
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下列定理中，没有逆定理的是（　　）
阅读：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，如图，Rt△ABC中，D为AB中点，则CD=AD=BD=
12
AB．（此定理在解决下面的问题中要用到）
应用：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

定理“直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”的其中一个逆定理是：三角形中，如果        ，那么这个三角形是直角三角形．

 

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