Question

如图，已知二次函数y=x²-2x-1的图象的顶点为A，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于原点O及另一点C．它的顶点B在函数y=x²-2x-1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当点B与点A关于x轴对称时，求函数y=ax²+bx+c的解析式，并判断这个四边形AOBC能否通过一个直径为1.8的圆孔．

Answer 1

分析：（1）将二次函数y=x²-2x-1化为顶点式，就可以求出顶点A的坐标，利用抛物线的对称性就可以求出OF=CF，从而求出C的坐标．
（2）通过第一问可以求出A、O、B、C的坐标，从而可以求得四边形AOBC是菱形，而短的对角线长为2＞1.8，从判断可以通过一个直径为1.8的圆孔．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-1，
∴y=（x-1）²-2，
∴A（1，-2），
∵y=ax²+bx+c的顶点B在函数y=x²-2x-1的图象的对称轴上，
如图得：∴OF=1根据抛物线的对称性得，
FC=1，
∴CO=2，
∴C（2，0）；

（2）∵点B与点A关于x轴对称
∴B（1，2），
∴

c=0 0=4a+2b+c 2=a+b+c

，解得

a=-2 b=4 c=0

，
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+4x，
∵OC⊥AB，OF=CF，BF=AF，
∴四边形AOBC是菱形，
∵CO=2＞1.8，
∴这个四边形AOBC能通过一个直径为1.8的圆孔．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了抛物线的顶点式，抛物线图象的对称性，待定系数法求函数的解析式等知识点．