题目内容

【题目】

如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连结DE并延长交AB于点F,连结BE.

(1)如①:求证∠AFD=∠EBC;

(2)如图②,若DE=EC且BE⊥AF,求∠DAB的度数;

(3)若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数

【答案】(1)证明见解析;(2)60°;(3)EFB=30°或120°

【解析】

试题分析:(1)直接利用全等三角形的判定方法得出DCE≌△BCE(SAS),即可得出答案;

(2)利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出DAB的度数;

(3)利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出当F在AB延长线上时,以及当F在线段AB上时,分别求出即可.

试题解析:(1)四边形ABCD为菱形,

DC=CB,

DCE和BCE中,

∴△DCE≌△BCE(SAS),

∴∠EDC=EBC,

DCAB,

∴∠EDC=AFD,

∴∠AFD=EBC;

(2)DE=EC,

∴∠EDC=ECD,

EDC=ECD=CBE=x°,则CBF=2x°

由BEAF得:2x+x=90°

解得:x=30°

∴∠DAB=CBF=60°

(3)分两种情况:

如图1,当F在AB延长线上时,

∵∠EBF为钝角,

只能是BE=BF,设BEF=BFE=x°

可通过三角形内角形为180°得:

90+x+x+x=180,

解得:x=30,

∴∠EFB=30°

如图2,当F在线段AB上时,

∵∠EFB为钝角,

只能是FE=FB,设BEF=EBF=x°,则有AFD=2x°

可证得:AFD=FDC=CBE,

得x+2x=90,

解得:x=30,

∴∠EFB=120°

综上:EFB=30°或120°

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