Question

【题目】（题文）直角三角形有一个非常重要的性质质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,比如:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,D为斜边AB中点,则CD=AD=BD=-AB.请你利用该定理和以前学过的知识解决下列问题:

在△ABC中,直线绕顶点A旋转.

(1)如图2,若点P为BC边的中点,点B、P在直线的异侧,BM⊥直线于点M,CN⊥直线于点N,连接PM、PN.求证:PM=PN；

(2)如图3,若点B、P在直线的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；

(3)如图4,∠BAC=90°,直线旋转到与BC垂直的位置,E为AB上一点且AE=AC，EN⊥于N,连接EC,取EC中点P,连接PM、PN,求证:PM⊥PN.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）PM=PN（3）证明见解析

【解析】

（1）如图2中，延长NP交BM的延长线于G．只要证明△PNC≌△PGB，推出PN=PG，再根据直角三角形斜边中线定理即可证明．
（2）结论：PM=PN．延长NP交BM于G，证明方法类似（1）．
（3）如图4中，延长NP交BM于G．先证明△EAN≌△CAM，推出EN=AM，AN=CM，再证明△ENP≌△CGP，推出EN=CG=AM，PN=PG，因为AN=CM，所以MG=MN，即可证明PM⊥PN．

（1）证明：如图2中，延长NP交BM的延长线于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BG∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中， ，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（2）解：结论：PM=PN．

如图3中，延长NP交BM于G．

∵BM⊥AM，CN⊥AM，

∴BM∥CN，

∴∠PCN=∠PBG，

在△PNC和△PGB中， ，

∴△PNC≌△PGB，

∴PN=PG，

∵∠NMG=90°，

∴PM=PN=PG．

（3）如图4中，延长NP交BM于G．

∵∠EAN+∠CAM=90°，∠CAM+∠ACM=90°，

∴∠EAN=∠ACM，

在△EAN和△CAM中，

∴△EAN≌△CAM，

∴EN=AM，AN=CM，

∵EN∥CG，

∴∠ENP=∠CGP，

在△ENP和△CGP中，

，

∴△ENP≌△CGP，

∴EN=CG=AM，PN=PG，

∵AN=CM，

∴MG=MN，

∴PM⊥PN．