题目内容

【题目】如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PB、AB,∠PBA=∠C.

(1)求证:PB是⊙O的切线;

(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,⊙O的半径为2,求BC的长.

【答案】(1)PB是⊙O的切线;

(2)BC=2

【解析】

试题分析:(1)连接OB,由圆周角定理得出∠ABC=90°,得出∠C+∠BAC=90°,再由OA=OB,得出∠BAC=∠OBA,证出∠PBA+∠OBA=90°,即可得出结论;

(2)证明△ABC∽△PBO,得出对应边成比例,即可求出BC的长.

试题解析:(1)证明:连接OB,如图所示:

∵AC是⊙O的直径,

∴∠ABC=90°,

∴∠C+∠BAC=90°,

∵OA=OB,

∴∠BAC=∠OBA,

∵∠PBA=∠C,

∴∠PBA+∠OBA=90°,

即PB⊥OB,

∴PB是⊙O的切线;

(2)解:∵⊙O的半径为2

∴OB=2,AC=4

∵OP∥BC,

∴∠C=∠BOP,

又∵∠ABC=∠PBO=90°,

∴△ABC∽△PBO,

∴BC=2.

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