Question

在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.
原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA＝DB,  EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
【小题1】写出原问题中DF与EF的数量关系
【小题2】如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
【小题3】如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中

得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明

Answer 1

【小题1】DF= EF.    ……………………………（2分）
【小题2】猜想：DF= FE.
证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.
∵ DA=DB，∠ADB=60°.
∴ AG=BG，△DBA是等边三角形.
∴ DB=BA.
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴ AC=AB=BG.   ∴△DBG≌△BAC.
∴ DG=BC.        ∵ BE=EC，∠BEC=60°，
∴△EBC是等边三角形.
∴ BC=BE，∠CBE=60°.
∴ DG= BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵∠DFG =∠EFB，∠DGF =∠EBF，
∴△DFG≌△EFB.∴ DF= EF.         ………………（7分）
【小题3】猜想：DF= FE.
过点D作DH⊥AB于H，连接HC、HE、HE交CB于K，则∠DHB=90°.
 
∵ DA=DB,    ∴ AH="BH," ∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90°，∴ HC=HB.
∵ EB=EC，HE=HE，
∴△HBE≌△HCE.  
∴∠2=∠3，∠4=∠BEH. ∴ HK⊥BC.
∴∠BKE=90°.     
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE， DH//BE.
∴四边形DHEB是平行四边形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………（12分）解析:
本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．