题目内容
在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.
原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB＝90° , ∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA＝DB, EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
1.写出原问题中DF与EF的数量关系
2.如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
3.如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中
得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明
1.DF= EF. ……………………………（2分）
2.猜想：DF= FE.
证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.
∵ DA=DB，∠ADB=60°.
∴ AG=BG， △DBA是等边三角形.
∴ DB=BA.
∵ ∠ACB=90° ， ∠ABC=30°，
∴
AC=
AB=BG. ∴ △DBG≌△BAC.
∴ DG=BC. ∵ BE=EC， ∠BEC=60° ，
∴ △EBC是等边三角形.
∴ BC=BE， ∠CBE=60°.
∴ DG= BE， ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵ ∠DFG =∠EFB，∠DGF =∠EBF，
∴ △DFG≌△EFB. ∴ DF= EF. ………………（7分）
3.猜想：DF= FE.
过点D作DH⊥AB于H， 连接HC、HE、HE交CB于K，则∠DHB=90°.
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∵ DA=DB, ∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.
∵ ∠ACB=90°，∴ HC=HB.
∵ EB=EC，HE=HE，
∴ △HBE≌△HCE.
∴ ∠2=∠3，∠4=∠BEH. ∴ HK⊥BC.
∴ ∠BKE=90°.
∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC，
∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE， DH//BE.
∴ 四边形DHEB是平行四边形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………（12分）
【解析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．
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你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．
