题目内容

阅读下列材料：
小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点，连接AF、BG、CH、DE，形成四边形MNPQ．求四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比（用含n的代数式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如图2，将△ABN绕点B顺时针旋转90゜至△CBN′，再将△ADM绕点D逆时针旋转90゜至△CDM′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比是
1
5
；
请你参考小明的做法，解决下列问题：
（1）取n=3，如图3，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（直接写出结果）；
（2）在图4中探究，n=4时四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（在图4上画图并直接写出结果）；
（3）猜想：当E、F、G、H分别是AB、BC、CD和DA边上靠近A、B、C、D的n等分点时，四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为______（用含n的代数式表示）；
（4）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．
（1）正方形ABCD的面积是10个小正方形，四边形MNPQ是4个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
4
10
=
2
5
；（2分）

（2）如图1．（3分）
正方形ABCD的面积是17个小正方形，四边形MNPQ是9个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
9
17
；（5分）

（3）正方形ABCD的面积是n2+1个小正方形，四边形MNPQ是（n-1）2个小正方形，
∴四边形MNPQ与正方形ABCD的面积比为：
(n-1)2
n2+1
；（7分）

（4）如图2．（8分）
设每个小正方形的面积是1，图形面积是10，
所以拼接后的正方形的边长是
10
，
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）
练习册系列答案
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已知正方形ABCD的面积35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点，AF和CE相交于点G，并且△ABF的面积为5平方厘米，△BCE的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是______平方厘米．
如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E，
①AE与BE的长度大小关系为______；
②若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l2、l4上，则sinα=______．
如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．
（1）DM与MN相等吗？试说明理由．
（2）若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余条件不变，如图（2），则DM与MN相等吗？为什么？
附加题：E是四边形ABCD中AB上一点（E不与A、B重合）．?
（1）如图，当四边形ABCD是正方形时，△ADE、△BCE和△CDE的面积之间有着怎样的关系？证明你的结论．
（2）若四边形ABCD是矩形时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？ABCD是平行四边形呢？
（3）当四边形ABCD是梯形时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．?
如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=
4
3
，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个
顺次连接四边形各边中点，所得的图形是______．顺次连接对角线______的四边形的各边中点所得的图形是矩形．顺次连接对角线______的四边形的各边中点所得的四边形是菱形．顺次连接对角线______的四边形的各边中点所得的四边形是正方形．
附加题：如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F．
（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；
（2）求AF的长．
正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于______．

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