题目内容

(2012•金牛区二模)阅读材料:C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.设CD=x,若AB=4,DE=2,BD=8,则可用含x的代数式表示AC+CE的长为
16+(8-x)2
+
4+x2
.然后利用几何知识可知:当x=
8
3
时,AC+CE的最小值为10.根据以上阅读材料,可构图求出代数式
25+(12-x)2
+
9+x2
的最小值为
4
13
4
13
分析:根据已知图象,重新构造直角三角形,利用三角形相似得出CD的长,进而利用勾股定理得出最短路径问题.
解答:解:如图所示:C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.设CD=x,
若AB=5,DE=3,BD=12,
当A,C,E,在一条直线上,AE最短,
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴AB∥DE,
∴△ABC∽EDC,
AB
DE
=
BC
CD

5
3
=
12-CD
CD

解得:DC=
9
2

即当x=
9
2
时,代数式
25+(12-x)2
+
9+x2
的最小值,
此时为:
25+(12-
9
2
) 2
+
9+ (
9
2
) 2
=
5
13
2
+
3
13
2
=4
13

故答案为:4
13
点评:此题主要考查了求最短路线问题,利用了数形结合的思想,求形如的式子
25+(12-x)2
+
9+x2
的最小值,可通过构造直角三角形,利用勾股定理求解.
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