题目内容
如图所示,⊙O的内接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延长线于D点,OC交AB于E点.(1)求∠D的度数;
(2)求证:AC2=AD•CE.
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【答案】分析:(1)连接OA,由圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧为同一条弧,根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由∠ABC的度数求出∠AOC的度数,再由OA=OC,根据等边对等角,由顶角∠AOC的度数,利用三角形的内角和定理求出底角∠ACO的度数,再由∠BAC及∠ABC的度数,求出∠ACB的度数,由∠ACB-∠ACO求出∠BCE的度数,由OC与AD平行,根据两直线平行同位角相等可得∠D=∠BCE,可得出∠D的度数;
(2)由∠ACB的度数,利用邻补角定义求出∠ACD的度数,再由∠AEC为三角形BEC的外角,利用外角性质得到∠AEC=∠ABC+∠BCE,可得出∠AEC的度数,进而得到∠AEC=∠ACD,在三角形ACD中,由∠ACD及∠D的度数,求出∠CAD的度数,可得∠CAD=∠ACE,利用两对对应角相等的三角形相似可得三角形AEC与三角形DCA相似,根据相似三角形的对应边成比例可得证.
解答:解:(1)连接OA,如图所示:
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∵圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧都为
,
∴∠AOC=2∠ABC,又∠ABC=15°,
∴∠AOC=30°,
又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=
=75°,
又∠BAC=45°,∠ABC=15°,
∴∠ACB=120°,
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-75°=45°,
又OC∥AD,
∴∠D=∠OCB=45°;
(2)∵∠ABC=15°,∠OCB=45°,
∴∠AEC=60°,
又∠ACB=120°∴∠ACD=60°,
∴∠AEC=∠ACD=60°,
∵∠D=45°,∠ACD=60°,
∴∠CAD=75°,又∠OCA=75°,
∴∠CAD=∠OCA=75°,
∴△ACE∽△DAC,
∴
=
,即AC2=AD•CE.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的外角性质,以及三角形的内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
(2)由∠ACB的度数,利用邻补角定义求出∠ACD的度数,再由∠AEC为三角形BEC的外角,利用外角性质得到∠AEC=∠ABC+∠BCE,可得出∠AEC的度数,进而得到∠AEC=∠ACD,在三角形ACD中,由∠ACD及∠D的度数,求出∠CAD的度数,可得∠CAD=∠ACE,利用两对对应角相等的三角形相似可得三角形AEC与三角形DCA相似,根据相似三角形的对应边成比例可得证.
解答:解:(1)连接OA,如图所示:
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∵圆周角∠ABC与圆心角∠AOC所对的弧都为
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∴∠AOC=2∠ABC,又∠ABC=15°,
∴∠AOC=30°,
又OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=
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又∠BAC=45°,∠ABC=15°,
∴∠ACB=120°,
∴∠OCB=∠ACB-∠ACO=120°-75°=45°,
又OC∥AD,
∴∠D=∠OCB=45°;
(2)∵∠ABC=15°,∠OCB=45°,
∴∠AEC=60°,
又∠ACB=120°∴∠ACD=60°,
∴∠AEC=∠ACD=60°,
∵∠D=45°,∠ACD=60°,
∴∠CAD=75°,又∠OCA=75°,
∴∠CAD=∠OCA=75°,
∴△ACE∽△DAC,
∴
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点评:此题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的外角性质,以及三角形的内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
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