Question

23、如图所示，⊙O的内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点直线AD交⊙O于E．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）当点D在BC的延长线上时，（1）的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接BE，可得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的性质得出结论．
（2）成立，可证△AEB∽△ABD，可得AB²=AD•AE．

解答：证明：（1）连接BE，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E．
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴AB：AD=AE：AB．（2分）
∴AB²=AD•AE．（4分）

（2）成立．（5分）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBD=∠DBE，∠ABE=∠ABC-∠EBD，∠D=∠ACB-∠CAD，
∵∠BAD为公共角，
∴△AEB∽△ABD．（7分）
∴AB：AD=AE：AB．
∴AB²=AD•AE．（8分）

点评：乘积的形式通常可以转化成比例的形式，本题考查了相似三角形的判断和性质．