Question

【题目】△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2），则s2=；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3 ， 继续操作下去…，则第10次剪取时，s10=；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1：如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S正方形CFDE=12=1

如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，

∴ ，

解得

∴

又∵

∴甲种剪法所得的正方形面积更大．

说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S正方形OFDE=1．

解法2：如图甲，由题意得AE=DE=EC，即EC=1，

如图乙，设MN=x，则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，

则 ，

解得 ，

又∵ ，即EC＞MN．

∴甲种剪法所得的正方形面积更大

（2）解： ；
（3）解：解法1：探索规律可知：

剩余三角形面积和为2﹣（S1+S2+…+S10）=2﹣（1+ +…+ ）=

解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为2﹣S1=1=S1

第二次剪取后剩余三角形面积和为 ，

第三次剪取后剩余三角形面积和为 ，

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为

【解析】（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可；（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的 ，依此可知结果；（3）探索规律可知： ，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．