题目内容
如图,在△ABC中,BC=10,高AD=8,矩形EFPQ的一边QP在边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值.分析:易证得△AEF∽△ABC,而AH、AD是两个三角形的对应高,EF、BC是对应边,则AH:AD=EF:BC,由此得证;要转化为函数的最值问题来求解;由AH=
x,进而可得到HD(即FP)的表达式;已求得了矩形的长和宽,即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式,根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值.
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解答:解:∵四边形EFPQ是矩形,
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC,
∴AH⊥EF;
∴AH:AD=EF:BC;
∵BC=10,高AD=8,
∴AH:8=x:10,
∴AH=
x
∴EQ=HD=AD-AH=8-
x,
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8-
x)=-
x2+8x=-
(x-5)2+20,
∵-
<0,
∴当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC,
∴AH⊥EF;
∴AH:AD=EF:BC;
∵BC=10,高AD=8,
∴AH:8=x:10,
∴AH=
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∴EQ=HD=AD-AH=8-
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∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8-
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∵-
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∴当x=5时,S矩形EFPQ有最大值,最大值为20.
点评:本题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识.
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