Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．
探究1：在运动中，四边形CDH?H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH?重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．

Answer 1

解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6 ∴AH=AC=×6=4 又∵HF∥DE， ∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB ∴=，即=， ∴HG=∴S△AHG=AH*HG=×4×=． （2）①能为正方形 ∵HH′∥CD，HC∥H′D， ∴四边形CDH′H为平行四边形 又∠C=90°， ∴四边形CDH?H为矩形 又CH=AC﹣AH=6﹣4=2 ∴当CD=CH=2时， 四边形CDH′H为正方形 此时可得t=2秒时，四边形CDH?H为正方形． ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC， ∴EF∥AB ∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合． 当0≦t≦4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积． 过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=== ∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE﹣ME=4﹣= ∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2= ∴y=． （Ⅱ）∵当4＜t≦5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积一矩形CDH?H的面积． 而S四边形CBGH=S△ABC﹣S△AHG=×8×6﹣= S矩形CDH′H=2t ∴y=﹣2t． （Ⅲ）当5＜t≦8时，如图，设H′D交AB于P，BD=8﹣t 又=tan∠ABC= ∴PD=DB=（8﹣t） ∴重叠部分的面积y=S △PDB=PD×DB=（8﹣t）（8﹣t）=（8﹣t）2=t2﹣6t+24． ∴重叠部分面积y与t的函数关系式： y=．