Question

（1）一元二次方程x²-2x+1=0的两根是x₁=______，x₂=______；2x²-3x+1=0的两根是x₁=______，x₂=______；6x²+7x+2=0的两根是x₁=______，x₂=______．
（2）由（1）中一元二次方程的两根，请你猜想：若一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁，x₂与系数a，b，c之间的关系是：x₁+x₂=______，x₁x₂=______．
（3）设一元二次方程2x²-5x+1=0的两根分别为x₁，x₂，不解方程，利用（2）中的结论，求的值．

Answer 1

解：（1）方程x²-2x+1=0，分解因式得：（x-1）²=0，
开方得：x-1=0，
解得：x₁=x₂=1；
方程2x²-3x+1=0，分解因式得：（2x-1）（x-1）=0，
可得：2x-1=0或x-1=0，
解得：x₁=1，x₂=；
方程6x²+7x+2=0，分解因式得：（3x+2）（2x+1）=0，
可得：3x+2=0或2x+1=0，
解得：x₁=-，x₂=-；
（2）方程x²-2x+1=0的x₁+x₂=2=-，x₁x₂=1=；
方程2x²-3x+1=0的x₁+x₂==-，x₁x₂=；
方程6x²+7x+2=0的x₁+x₂=-，x₁x₂==，
则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x₁，x₂，
有x₁+x₂=-，x₁x₂=；
（3）∵x₁+x₂=-=，x₁x₂=，
∴==．
故答案为：（1）1，1；1，；，；（2），
分析：（1）第一个方程左边利用完全平方公式分解因式，第二、三个方程利用十字相乘法分解因式，然后分别利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到各自的解；
（2）求出每一个方程的两根之和与两根之积，归纳总结得到一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之和与两根之积即可；
（3）找出方程中的a，b及c的值，利用第二问猜想的结论，求出x₁+x₂与x₁x₂的值，然后将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则变形后，把x₁+x₂与x₁x₂的值代入即可求出值．
点评：此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＜0时，方程无解；当b²-4ac≥0时，方程有解，当方程有解时，设方程两解分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-，x₁x₂=．