题目内容
【题目】（1）问题情境：如图1，已知等腰直角
中，
，
，
是
上的一点，且
，过作
于
，取
中点
，连接
，则的长为_______（请直接写出答案）
小明采用如下的做法：
延长
到
，使
，连接
，
为
中点，为的中点，
是
的中位线……
请你根据小明的思路完成上面填空；
（2）迁移应用：将图1中的
绕点
作顺时针旋转，当
时，试探究、、
的数量关系，并证明你的结论．
（3）拓展延伸：在旋转的过程中，当
、、三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
或
【解析】
（1）延长
到
，使
，连接
，过
作
于
，在
中，利用勾股定理求得EH的长，再利用三角形中位线定理即可求解；
（2）分在
上方和下方两种情况讨论，延长
与的延长线交于一点，利用等腰直角三角形的性质结合三角形中位线定理即可求解；
（3）分点D在线段AC上和在AC延长线上两种情况讨论，仿照（1）的方法即可求解．
（1）延长到，使，连接，
∵B为
中点，
为
的中点，
∴
是
的中位线，
∴
，
过作于，
∵
，
，
∴四边形BDEG是矩形，
∵
等腰直角三角形，，
∴∠C=∠A=45
，
∵，
∴
等腰直角三角形，
∵
，
∴
，
∴
，
∵在中，
，
∴
；
（2）当
时，分成两种情况：
如图在上方，延长与的延长线交于一点，
∵∠BAC=45，
∴
是等腰直角三角形，且B为AH的中点，
∴
，
∴
，
∵点F是AE中点，
∴，
∴
；
如图，在下方，延长
与的延长线交于一点，
同理是等腰直角三角形，
为中点，
∴，
∴
，
∵点F是AE中点，
∴，
∴
；
（3）当点D在线段AC上时，
延长到，使，连接，
∵B为中点，为的中点，
∴是的中位线，
过作于，
∠ACB+∠DCE=90，∠ABC =90，
∴四边形BCEG是矩形，
∴GE=BC=6，BG=CE=2，
∴GH=2+6=8，
∴EH=
，
∴
；
当点D在AC延长线上时，
延长到，使，连接，
∵B为中点，为的中点，
∴是的中位线，
过作于，
同理四边形BCEG是矩形，
∴GE=BC=6，BG=CE=2，
∴GH=6-2=4，
∴EH=
，
∴
；
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