Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是

1. A.
   5
2. B.
   6
3. C.
   7
4. D.
   8

Answer 1

B
分析：设HG=x，KD=y，根据矩形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．
解答：如图，设HG=x，KD=y，
∵四边形EFGH是矩形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∵AD是BC边上的高，
∴AK⊥HG，∠ADF=∠EFG=∠FGK=90°，
∴四边形DFGK是矩形，
∴KD=GF=y，
∴AK：AD=HG：BC，
∵BC=12，AD=8，
∴，
解得：y=-x+8，
∴矩形EFGH的面积为：xy=x•（-x+8）=-（x-6）²+24，
∴当x=6，即HG=6时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是24．
∴EF=GH=6．
故选B．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及二次函数的最值问题．注意根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形EFGH的长与宽的关系是解题的关键．