题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【答案】(1)∠ABC=60°;
(2)证明见解析;
(3)π.
【解析】
试题分析:(1)∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,可得∠ABC=∠D=60°;
由AB是直径,可得∠ACB=90°,从而可得∠BAC=30°,由∠EAC=60°,可得∠EABC=90°,即AE是切线;
连接BC,由已知条件可知△BOC是等边三角形,从而可得弧AC所对圆心角的度数,利用弧长公式即可得劣弧AC的长.
试题解析:(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°;
(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,即BA⊥AE,
∴AE是⊙O的切线;
(3)如图,连接OC,
∴OB=OC,∠ABC=60°,
∴△OBC是等边三角形,∵OB=BC=4,∠BOC=60°,
∴∠AOC=120°,
∴劣弧AC的长为=π.
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