Question

【题目】如图1，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN．

（1）观察猜想：

图1中，PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　．

（2）探究证明：

将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：

把△CDE绕点C任意旋转，若AC=4，CD=2，请直接写出△PMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN（2）见解析（3）

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；

（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；

（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，推出当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，推出当B、C、D共线时，BD的最大值=BC+CD=6，由此即可解决问题；

（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：

延长AE交BD于O，

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEO，

∴∠CBD+∠BEO=90°，

∴∠BOE=90°，即AE⊥BD，

∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，

∴PM=BD，PN=AE，

∴PM=PM，

∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，

∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，

∴∠MPA+∠NPC=90°，

∴∠MPN=90°，

即PM⊥PN，

故答案是：PM=PN，PM⊥PN；

（2）如图②中，设AE交BC于O，

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，

∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，

又∵∠AOC=∠BOE，

∠CAE=∠CBD，

∴∠BHO=∠ACO=90°，

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM=BD，PM∥BD，

PN=AE，PN∥AE，

∴PM=PN，

∴∠MGE+∠BHA=180°，

∴∠MGE=90°，

∴∠MPN=90°，

∴PM⊥PN；

（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，

∴当BD的值最大时，PM的值最大，△PMN的面积最大，

∴当B、C、D共线时，BD的最大值=BC+CD=6，

∴PM=PN=3，

∴△PMN的面积的最大值=×3×3=．