Question

【题目】如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2 ，0）、（0，﹣ ），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．

（1）求直线DE的解析式；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由菱形的对称性可得，C（2 ，0），D（0， ），

∴OD= ，OC=2 ，tan∠DCO= = ，

∵DE⊥DC，

∴∠EDO+∠CDO=90°，

∵∠DCO+∠CD∠=90°，

∴∠EDO=∠DCO，

∵tan∠EDO=tan∠DCO= ，

∴ ，

∴OE= ，

∴E（﹣ ，0），

∴D（0， ），

∴直线DE解析式为y=2x+

（2）

解：由（1）得E（﹣ ，0），

∴AE=AO﹣OE=2 ﹣ = ，

根据勾股定理得，DE= = ，

∴菱形的边长为5，

如图1，

过点E作EF⊥AD，

∴sin∠DAO= ，

∴EF= = ，

当点P在AD边上运动，即0≤t＜ ，

S= PD×EF= ×（5﹣2t）× =﹣ t+ ，

如图2，

点P在DC边上运动时，即 ＜t≤5时，

S= PD×DE= ×（2t﹣5）× = t﹣ ；

∴S=

（3）

解：设BP与AC相交于点Q，

在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，

∴DE⊥AB，

∴∠DAB+∠ADE=90°，

∴∠DCB+∠ADE=90°，

∴要使∠EPD+∠DCB=90°，

∴∠EPD=∠ADE，

当点P在AD上运动时，如图3，

∵∠EPD=∠ADE，

∴EF垂直平分线PD，

∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2 ，

∴2t=5﹣ ，

∴t= ，

此时AP=1，

∵AP∥BC，

∴△APQ∽△CBQ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴AQ= ，

∴OQ=OA﹣AQ= ，

在Rt△OBQ中，tan∠OQB= = = ，

当点P在DC上运动时，如图4，

∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°

∴△EDP∽△EFD，

∴ ，

∴DP= = = ，

∴2t=AD﹣DP=5+ ，

∴t= ，

此时CP=DC﹣DP=5﹣ = ，

∵PC∥AB，

∴△CPQ∽△ABQ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴CQ= ，

∴OQ=OC﹣CQ=2 ﹣ = ，

在Rt△OBD中，tan∠OQB= = =1，

即：当t= 时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为 ．

当t= 时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1

【解析】（1）先有菱形的对称性得出点C，D坐标，然后用∠DCO的正切值，以及等角的三角函数值相等列出方程，最后用待定系数法求出直线DE解析式．（2）先求出菱形的边长，再求出EF，分点P在AD和DC边上，用面积公式求解；（3）先求出∠EPD=∠ADE，分两种情况用由菱形的边长建立方程求出时间t，用相似三角形的比例式建立方程求出OQ，解直角三角形即可．